Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = -3xy+9x+9y-24$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = -3(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle (x * x) * x = 12$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & a \\ -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+2z=0 \\ x+2y+az=0 \\ -2x-y+3z=0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(9))=0$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) Demonstrați că, dacă sistemul are soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ numere reale nenule, atunci $\displaystyle x_0+y_0+z_0=1$, dacă și numai dacă $\displaystyle a=7$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy+7x+7y+42$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x+7)(y+7)-7$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle x \circ x = x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle 2017^a \circ (-6) = 1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 0 & x \\ x & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y) = xyI_2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(3^a)A(3^{a+1}) = A(27)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1=3-3 \times 1 - 3 + 12 = 3$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \textrm{o} y = (x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \textrm{o} y = (x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 - (m^2+2)X^2 + (m^2+2)X - 1$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(1) = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Demonstrați că $\displaystyle (x_1-x_2)^2 + (x_2-x_3)^2 + (x_3-x_1)^2 = -4(m-1)^2$, pentru orice număr real $\displaystyle m$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care toate rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ sunt numere reale.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy+6x+6y+30$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x+6)(y+6)-6$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle e=-5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ (-2017) = 2017 \circ (-6)$.