Se consideră matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1+3x & 2x \ -6x & 1-4x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x+y)=A(x)A(y)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați matricea $\displaystyle A(2^x-1)$ pentru orice număr real $\displaystyle x$, ștind că $\displaystyle A(2^x)=A(1)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & y \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=4$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A-2B)=0$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, pentru care $\displaystyle A \cdot B = B \cdot A$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy+2x+2y+2$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ (-2)=-2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \circ \frac{1}{x} = x$.

Se consideră determinantul $\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix} x & 3 & y \ 2 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ , unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle \Delta(-1,0)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \Delta(x,y)=(x-y)(x-3y+2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele întregi distincte $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle \frac{1}{y-x}=\frac{1}{8}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, + \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x}$ și sirul de numere reale $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ cu $\displaystyle x_n=f(n)$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că șirul $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ este descrescător.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle X(a)=I_2+aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle A \cdot A$.

b) Demonstrați că $\displaystyle X(a) \cdot X(b) = X(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați inversa matricei $\displaystyle M=X(-3) \cdot X(-2) \cdot X(-1) \cdot X(0) \cdot X(1) \cdot X(2) \cdot X(3) \cdot X(4)$.

Se consideră determinantul $\displaystyle d(x)=\begin{vmatrix} 2 & 0 & x+1 \ 3 & 3 & x^2+2 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle d(0)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle d(x)=-2(x-1)(x+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt două numere reale diferite astfel încât $\displaystyle d(x)=d(y)$, atunci $\displaystyle x+y=0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy-4x-4y+20$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle 1 * 2 * 3 * \dots * 2016$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$, știind că $\displaystyle a<b<c$ și $\displaystyle a*b*c = 66$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy-x-y+2$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle 0 * 1 * 2 * 3$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle a * a * 2016 = 2016$.