Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2+x \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a\ne -1$, ştiind că $\displaystyle A\left(\frac{1}{1\cdot 2}\right) \cdot A\left(\frac{1}{2\cdot 3}\right) \cdot \dots \cdot A\left(\frac{1}{2016\cdot 2017}\right) = A\left(\frac{a}{a+1}\right)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = -3xy+9x+9y-24$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = -3(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \ast$” este asociativă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle (x \ast x) \ast x = 12$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = -xy+2x+2y-2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = -(x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \ast x = 1$.

c) Determinați $\displaystyle n, p \in \mathbb{N}$ astfel încât $\displaystyle n \ast n \ast n \ast n = 2$, produsul numerelor $\displaystyle n, m$ și $\displaystyle p$ este divizibil cu $\displaystyle 2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=\frac{1}{3}xy+x+y$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*(-3)=-3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x*y=\frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x*x^{-1}=3$, unde $\displaystyle x^{-1}$ este elementul simetric al lui $\displaystyle x$ în raport cu legea de compoziție $\displaystyle *$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = 3xy + 3x + 3y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 3(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x+3$. Demonstrați că $\displaystyle (f(x) \circ f(y)) = f(x \circ y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle a \circ a \circ a = 3^{2015}-1$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 = (-3) \cdot (-3) - 3 = 6$.

b) Arătați că $\displaystyle x y = x+3y+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că valorile reale ale lui $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \leq 5x \leq x+5$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1+x & -x \\ 2x & 1-2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați det($\displaystyle A(0)$).

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este egală cu inversa ei.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x $\displaystyle \circ$ y = 2xy - 6x - 6y + 21.

a) Arătați că x $\displaystyle \circ$ y = 2(x-3)(y-3) + 3, pentru orice numere reale x și y.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este egală cu inversa ei.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = -2xy + 10x + 10y - 45$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = -2(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 5$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle m * n = 27$.