Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56$.

a) Arătați că $\displaystyle (-7)*7 = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y=(x-7)(y-7)+7$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1*2*3*...*2015$.

Se consideră determinantul $\displaystyle D(x,y) = \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ 1 & y & \frac{1}{y} \\ 1 & x & \frac{1}{x} \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale nenule.

a) Arătați că $\displaystyle D\left(2, \frac{1}{2}\right) = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle D(x,y) = -\frac{1}{xy}(2x-1)(2y-1)(x-y)$, pentru orice numere reale nenule $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle D(\log_2 x, 2) = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln \frac{x+1}{x}$ și șirul de numere reale $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_n = f(1) + f(2) + \dots + f(n)$.

a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ este crescător.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (2n+1)(a_n - \ln n)$.

Se consideră matricea $\displaystyle X(a) = \begin{pmatrix} 1+3a & -6a \\ a & 1-2a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle X(a) + X(-a) = 2X(0)$.

b) Arătați că $\displaystyle X(a) \cdot X(b) = X(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle X(a)$ este inversabilă.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle a$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2,0))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x,a) + A(x,-a) = 2x A(1,0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle a$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \det(A(x,-3)) = 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x ∘ y = 3xy + 3x + 3y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x ∘ y = 3(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că $\displaystyle a ∘ b = 2$.

c) Calculați $\displaystyle (-1) ∘ 0 ∘ 1 ∘ ... ∘ 2015$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy + 2x + 2y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = (x+2)(y+2) - 2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle (-2015) \ast (-2) \ast 0 \ast 2 \ast 2015$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$, știind că numărul $\displaystyle n \ast (-n)$ este natural.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 0 & x \\ y & 0 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(2A) = -28$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle A+2B=I_2$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Dacă $\displaystyle AB=BA$, arătați că $\displaystyle \det B=0$.