Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^4 - 4x + 4$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 4(x-1)(x^2+x+1)$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are un singur punct de extrem.

c) Fie $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ numere reale pozitive astfel încât $\displaystyle a+b \ge 1$. Demonstrați că $\displaystyle f(a) + f(b) \ge 2$.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă $\displaystyle x \circ y = 2xy - 2x - 2y + 3$.

a) Arătaţi că $\displaystyle x \circ y = 2(x-1)(y-1) + 1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

b) Determinaţi elementul neutru al legii de compoziţie „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinaţi numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle a \circ a \circ a = a$.