1. Arătaţi că $\displaystyle \sqrt{27} - 2\left(1 - \sqrt{3}\right) + \left|1 - \sqrt{3}\right| = -3$.

1. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $\displaystyle x * y = x + y - 6$. Să se arate că legea de compoziție este asociativă, oricare ar fi $\displaystyle x, y, z$ numere reale.

Arătați că $\displaystyle \sqrt{3}(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) + 3\sqrt{2} = 6$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - x - y + 20$. 1. Arătați că $\displaystyle 2 * 4 = 4$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle M(x, y) = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale. 1. Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

2. Demonstrați că $\displaystyle x * y = 2 - 3(x-2)(y-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

6. Demonstrați că $\displaystyle X(a) \cdot X(b) = X(a+b+5ab)$ pentru orice $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ numere reale.

1. Arătați că $\displaystyle \sqrt{12^2 - 3^2} + \sqrt{5}(\sqrt{5} - 3\sqrt{3})$ este un număr natural.

2. Demonstrați că $\displaystyle x * y = 2(x - 3)(y - 3) + 3$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

4. Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x + y - 2xy)$ pentru orice $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ numere reale.

6. Să se arate că pătratul numărului $\displaystyle [(1+\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3}-1)]$ este cubul unui număr natural.

1. Determinați numărul real $\displaystyle x$, ştiind că $\displaystyle (x+\sqrt{2})^2 - (1-\sqrt{2})^2$ este număr întreg, unde $\displaystyle i^2 = -1$.

1. Arătați că $\displaystyle (\sqrt{5}+1)^2-\sqrt{20}=6$.

2. Demonstrați că $\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)-6$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Arătați că legea de compoziție „*” nu este asociativă, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

2. Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x+3)(y+3)-3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Să se arate că numărul $\displaystyle A = \log_{3} 27 + \log_{4} \frac{1}{16} + \sqrt{125}$ este un număr natural.

Să se determine probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea $\displaystyle \{ \sqrt{n} \mid n \in \mathbb{N}, n < 100 \}$, acesta să fie număr irațional.