Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1+2a & -a \\ -6a & 1+3a \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y+5xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle A(n) \cdot A(n-2) = A(2)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(x^2+1)-(x^2-x+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x) - f(y)| \le 1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră determinantul $\displaystyle D(x,y) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & 2 \\ x^2 & y^2 & 4 \end{vmatrix}$ unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle D(1,-1)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(x,y) = (x-2)(y-2)(y-x)$, $\displaystyle \forall x,y \in \mathbb{R}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle D(2^x, 4^x) = 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și comutativă $\displaystyle x*y=2xy-10x-10y+55$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y=2(x-5)(y-5)+5$, pentru orice $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ numere reale.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle m*n=11$.

Se consideră matricele $\displaystyle M = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle N = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle M \cdot N = N \cdot M$.

b) Verificați dacă $\displaystyle \det N - \det M < \det(M-N)$.

c) Determinați numărul matricelor $\displaystyle P = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix}$ pentru care $\displaystyle P^2 = M$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.