a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A((x-3)(y-3)+3)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle abc$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(b) \cdot A(c) = A(8)$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * (-3) = 18$.

b) Arătați că $\displaystyle x * y = (x - 4)(y - 4) + 4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^x * 4^x = 4$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-3)(y-3) + 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle a * a * a = a$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^x * 9^x * 27^x = 3$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = 3(x - 1)(y - 1) + 1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle \frac{1}{2} \ast \frac{2}{3} \ast \frac{3}{4} \ast \ldots \ast \frac{2023}{2024}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ care sunt egale cu simetricul lor față de legea $\displaystyle \ast$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = 2-5(x-2)(y-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că, dacă $\displaystyle a * a = b * b$, unde $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$ cu $\displaystyle a \neq b$, atunci $\displaystyle a+b=\frac{9}{5}$.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle m$, știind că funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=mx^2+2$ verifică relația $\displaystyle f(x*y)=f(x)f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle i \circ (-i+(y+i)-i)$, pentru orice numere complexe $\displaystyle x, y$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați perechea de numere reale $\displaystyle (a,b)$, știind că $\displaystyle i^2 \circ i^2 \circ \dots \circ i^{2024} = a+bi$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(0))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)-2A(x)-2A(y)=A(2024)$, pentru orice $\displaystyle x, y$ numere reale.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ știind că $\displaystyle A(m)A(n)=A(-2022)$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 2 = -3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x-1)(y-1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle m \circ n = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = A(m+n+mn)$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle m, n, p$ sunt numere reale pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) \cdot A(p) = A(0)$, atunci $\displaystyle (1+m)(1+n)(1+p)=1$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(0))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)=A(-x-y+2xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x,y$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care inversa matricei $\displaystyle A(m)$ are elementele numere întregi.