1. Arătaţi că $\displaystyle \sqrt{64-4\sqrt{2}}+2\sqrt{2}=(2-\sqrt{2})^2+4$.

4. Arătați că $\displaystyle (2x) \ast (2y) = 2 \cdot (x \ast y)+6$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

5. Arătați că, dacă $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale distincte astfel încât $\displaystyle \det(M(x,y))=\det((M(y,x))$, atunci $\displaystyle x+y=0$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,8)$, $\displaystyle B(0,4)$ și $\displaystyle C(a,b)$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că segmentele $\displaystyle OA$ și $\displaystyle BC$ au același mijloc.

4. Arătați că $\displaystyle x \ast y = (x-1)(y-1)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle M(2,4)$ și $\displaystyle B(a,b)$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,2)$, $\displaystyle B(a,0)$ și $\displaystyle C(1,b)$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle \vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OA}$.

Arătați că $\displaystyle x*y = \frac{1}{4}(x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că $\displaystyle 2\sqrt{2}(3+\sqrt{2})-3(1-2\sqrt{2})=7$.

1. Arătați că $\displaystyle 0,25 \cdot 6 + (3 - 0,5) : 5 = 2$.

5p 1. Arătați că $\displaystyle 3^5 : 3^3 - \frac{1}{10} \cdot 40 = 1$.

1. Arătați că numărul $\displaystyle a = (1+\sqrt{2})\cdot |\sqrt{2022}+\sqrt{2}| - \sqrt{2}$ este număr natural, unde $\displaystyle {x}$ reprezintă partea fracționară a numărului real $\displaystyle x$.

Calculați partea întreagă a numărului real $\displaystyle \log_{\sqrt{2}} 3$.

Determinați valorile parametrului real $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle x^2 - mx + m = 0$ are două rădăcini reale și distincte.