Se consideră matricea $\displaystyle C(a,b) = a A(b) + b A(a)$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați perimetrul triunghiului cu vârfurile $\displaystyle C(a,b)$, $\displaystyle C(b,a)$ cu elementele $\displaystyle C(a,b)$ egală cu 24.

Ân reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,1)$, $\displaystyle B(5,0)$, $\displaystyle C(6,3)$ și $\displaystyle D(a,b)$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că segmentele $\displaystyle AC$ și $\displaystyle BD$ au același mijloc.

Calculați $\displaystyle M(x) k \cdot M(-1)+M(y) k \cdot M(-1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

1. Arătați că $\displaystyle 2(\log_5 10 - \log_5 2) + \log_5 25 = 4$.

Arătați că $\displaystyle x*y=(x-9)(y-9)+9$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A\left(3,0\right)$, $\displaystyle B\left(3,2\right)$ și $\displaystyle C\left(a,b\right)$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că punctul $\displaystyle B$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AC$.

1. Arătați că $\displaystyle \sqrt{6}(\sqrt{6}-2)-\sqrt{16}+2\sqrt{6}=2$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x^2+x}=3^{2x}$.

2. Arătați că $\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)+9$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(a,b)=\begin{pmatrix} a & a \\ b & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. 1. Arătați că $\displaystyle \det(B(1,-1))=2$.

5. Știind că $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale, $\displaystyle a\ne0$, astfel încât $\displaystyle \det(A-B(a,b))=0$, arătați că $\displaystyle 3a=b$.

6. Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere reale, cu $\displaystyle a<b$, pentru care $\displaystyle (a+b)B(a,b)+bB(a-b,a-b)=B(25,6)$.

Arătați că $\displaystyle x \circ y = 7-\frac{1}{6}(x-6)(y-6)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați tripletele $\displaystyle (a,b,c)$ de numere reale, știind că numerele $\displaystyle a,b$ și $\displaystyle c$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cu rația $\displaystyle 6$ și $\displaystyle b \circ c = -5$.