Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+2 & -2 \ 2 & x-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=8$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(0)=A(x)$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale distincte astfel încât $\displaystyle \det(A(x))=\det(A(y))$, atunci $\displaystyle x+y=1$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & -1 & a \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) - A(a) - A(b) + I_3$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot X \cdot A(0) = I_3$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x(x-2) + y(y-2)$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \circ 3 = 6$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2 \circ x = x^2+2$.

c) Arătați că $\displaystyle x \circ y - 2 = (x-1)^2+(y-1)^2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & x & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(1))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle B(x) \cdot B(-x) = (x^2+1)A$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x)B(-x) - B(2x)B(-1) = xA$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{3x^2-x}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (x+1)f(x)dx=7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^5 (3x^2-f(x))dx=2\ln3$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(\sqrt{x}-1)$. Arătați că $\displaystyle \int_1^4 (a+bg(x))g'(x)dx=4a$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.