a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y)=A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n) \cdot A(n+1) \cdot A(n+2) \cdot A(n+3)=A(2n^2)$.

a) Arătați că $\displaystyle x\circ y=5(x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numărul întreg $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m\circ m=m$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x\circ x)\circ x = -2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A^2(a)$ este matricea nulă, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci $\displaystyle x_0+y_0+z_0 \leq 0$, pentru orice soluție $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații, cu $\displaystyle x_0,y_0,z_0$ numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=5$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$ pentru care sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numărul real $\displaystyle a$.

a) Arătați că $\displaystyle P(-1)=-15$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle g=X^2-1$ este egal cu $\displaystyle 15X$.

c) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, polinomul $\displaystyle P$ nu are toate rădăcinile numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(-x) = (x+y-2)A(0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(-1) \cdot A(3) = A(x) \cdot A(y)$.