Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = \frac{1}{2}(x+y+x y)$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \ast 0 = 2$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale astfel încât $\displaystyle a \ast b \le b$, atunci $\displaystyle a \le 0$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (2x) \ast (x^2+1) \ast (-2x) = 10$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = x^2+y^2+x+y$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \ast (-1)=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \ast y = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y+\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \leq 4$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x+3y & 4y \\ -2y & x-3y \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,1))=0$.

b) Demonstrați că, dacă matricea $\displaystyle A(x,y)$ este inversabilă, atunci $\displaystyle x \neq |y|$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi, pentru care $\displaystyle A(m,n) \cdot A(m,-n)=I_2$.

Se consideră sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} ax+(a+1)y+(a+2)z=a \\ bx+(b+1)y+(b+2)z=b \\ x+z=1 \end{cases}$ și matricea $\displaystyle X(a,b)=\begin{pmatrix} a & a+1 & a+2 \\ b & b+1 & b+2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(0,1))=1$.

b) Demonstrați că, pentru orice numere reale distincte $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ este soluție a sistemului de ecuații, atunci $\displaystyle x_0^2-z_0^2-2a y_0=3$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+3}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 2f(x)dx = \frac{\pi}{4}$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle x$, orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare.

c) Arătați că, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, cu $\displaystyle a<b$, $\displaystyle \int_a^b F^2(x)f(x)dx>0$, pentru orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1+2x & 0 & -4x \\ 0 & a & 0 \\ x & 0 & 1-2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)) = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ astfel încât $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x + y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(3)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(\alpha)= \alpha I_3 + \beta B$, unde $\displaystyle z=a+ib$, $\displaystyle cu$ $\displaystyle \alpha$ și $\displaystyle \beta$ numere reale și $\displaystyle i^2=-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det B = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(z_1) \cdot A(z_2) = A(z_1z_2)$, pentru orice numere complexe $\displaystyle z_1$ și $\displaystyle z_2$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1+i) \cdot A(2+i) \cdot A(3-i) \cdot A(2-i) \cdot A(3-i) = nI_3$.