Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a,b) = aA+bI_2$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a,b) \u00B7 M(x,y) = M(ax+by, ay+bx)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a, b, x$ și $\displaystyle y$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale pentru care matricele $\displaystyle B = M(x,2y)$ și $\displaystyle C = M(y,2x)$ sunt egale, atunci $\displaystyle x^2+y^2=0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = \sqrt[3]{(xy)^4-3(x+y)}$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \circ \sqrt[3]{-2} = \sqrt[3]{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = \sqrt[3]{(x- \sqrt{3})(y-\sqrt{3}) + \sqrt{3}}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle \frac{1}{3} \circ \frac{1}{3} \circ ... \circ \frac{1}{3}$ (de 2021 ori).

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = \sqrt{x^2+y^2-27}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2021 \ast (-2021) = -3$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x+27}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ast f(y) = f(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+3}{x^6+7}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-3x^2(x^3-1)^2}{(x^6+7)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați asimptotele graficului funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x)-f(y)| \le \frac{7}{7}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = x + 5xy + y$.

a) Verificați dacă $\displaystyle e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ \left( \frac{1}{5} \right) \circ y = \frac{1}{5}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați partea întreagă a numărului $\displaystyle q = \left( -\frac{1}{2} \right) \circ \left( -\frac{1}{3} \right) \circ \dots \circ \left( -\frac{1}{2021} \right)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1+5x & -2x \\ 10x & 1-4x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y+xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (m,n)$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversa matricei $\displaystyle A(n)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(a,b) = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(1,2)) = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A \cdot B(a,b)) = 0$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(a,b) = B(a,b) \cdot A$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - 5x - 5y + 30$.

a) Arătați că $\displaystyle 5 * 2021 = 5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle m^2 * n = 16$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a,b,c) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ bc & ac & ab \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a, b, c$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0,1,2))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a,b,c))=(b-a)(c-a)(c-b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a, b, c$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle m, n, p$ sunt numere naturale, cu $\displaystyle m<n<p$, astfel încât determinantul matricei $\displaystyle A(m,n,p)$ este număr prim, atunci numerele $\displaystyle m, n, p$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 2a-1 & 4a-4 \\ 1-a & 3-2a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)\cdot A(b) = A(a+b-1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)\cdot A(4)\cdot A(2^n)=A(32)\cdot A(-n)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A - 3A = I_2$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A \cdot X - X \cdot A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.