Se consideră matricea $\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & a-2 \\ b+1 & b-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,0))=-1$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a\in(-\infty,0)$ și $\displaystyle b\in(0,+\infty)$, atunci matricea $\displaystyle A(a,b)$ este inversabilă.

c) Determinați matricea $\displaystyle X\in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(1,3) \cdot X = A(2,1)$.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă $\displaystyle x \circ y = 3xy - (x+y) + \frac{2}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ (-1) = -\frac{7}{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = 3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1 \circ \frac{1}{\sqrt{2}} \circ \frac{1}{\sqrt{3}} \circ \dots \circ \frac{1}{\sqrt{2021}}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y$.

a) Arătați că $\displaystyle (-3) \ast 3 = 9$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \ast y = \left(x+\frac{1}{2}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^x \ast 4^x = \frac{1}{4}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = 7(x-3)(y-3)+3$.

a) Arătați că $\displaystyle x*3=3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, astfel încât $\displaystyle x*x*x=-46$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{5^x}{7}+3$. Demonstrați că $\displaystyle f(x*y) = f(x)*f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.