Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1-a & 2a & 0 \\ -a & 1+2a & 0 \\ 0 & 0 & 1+a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$ sunt numere reale pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(c)$, atunci $\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)=1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=|x-y|$.

a) Arătați că $\displaystyle (5*2)*1=2$.

b) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

c) Demonstrați că $\displaystyle (a*b)+(b*c) \ge a*c$, pentru orice numere reale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a,b,c) = \begin{pmatrix} 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} (1+a)x+y+z=0 \\ x+(1+b)y+z=0 \\ x+y+(1+c)z=0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a, b, c$ sunt numere reale nenule.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-2,0,2))=4$.

b) Arătați că, dacă $\displaystyle abc+ab+bc+ca \ne 0$, atunci matricea $\displaystyle A(a,b,c)$ este inversabilă.

c) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații admite și soluții diferite de soluția $\displaystyle (0,0,0)$, atunci numărul $\displaystyle N = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ este întreg.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m,x)=\begin{pmatrix} 2-x & 1 \\ m & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ și $\displaystyle x$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4,2))=0$.

b) Determinați rangul matricei $\displaystyle A(2,1)$.

c) Determinați perechile de numere naturale nenule și distincte $\displaystyle (n,p)$ pentru care $\displaystyle \det((A(3,n))) = \det((A(3,p)))$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $\displaystyle x*y = \frac{xy}{3} - x - y + 6$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*(-1)*3=3$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, $\displaystyle x \ne 3$ pentru care $\displaystyle ((x*x)*x)=((x*x)-3) = 42$, unde $\displaystyle x'$ este simetricul lui $\displaystyle x$ în raport cu legea de compoziție $\displaystyle *$.