Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - 3x - 3y + 12$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 3 = 3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1)) = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a) \cdot M(b) = M(a+b)$ pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle M(1) \cdot X = M(0)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = 4xy + 4x + 4y + 3$.

a) Arătați că $\displaystyle x * (-1) = -1$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = 4(x+1)(y+1) - 1$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = 19$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y=2x+2y-xy$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 2=2$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x * (x-1)=-1$.

c) Dați exemplu de două numere iraționale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle a * b \in \mathbb{N}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy-2x-2y+6$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * 2020 = 2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle m * n = 13$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = -xy+x+y$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ \sqrt{2} = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = -(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 3^x \circ 5^x = 1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x,y) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & -1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -4$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A-2B(x,y)) = 0$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x,y) = B(x,y) \cdot A$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy + 2(x+y) + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 * (-2) = -2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 1/x * x = x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 2xy - 2x - 2y + 3$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 * 1 = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = 2(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $\displaystyle x \ast y = x+y-90$.

a) Arătaţi că $\displaystyle 90$ este elementul neutru al legii de compoziţie $\displaystyle \ast$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle (x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ şi $\displaystyle z$.

c) Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x^2) \ast (2x+1) = -74$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy+x+y+12$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 \circ (-4) = -4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x+4)(y+4)-4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x^2 + y^2 + 4$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 * 0 = 3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x+1)(y+1)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle m * n = 2$.