a) Arătați că $\displaystyle x*y = -(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x=x$.

c) Calculați $\displaystyle 1*(-2)*3*(-4)*...*2019*(-2020)$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 7\left(x + \frac{1}{7}\right)\left(y + \frac{1}{7}\right) - \frac{1}{7}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 5$.

c) Dați exemplu de numere distincte $\displaystyle a,b \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$ pentru care numărul $\displaystyle a \circ b$ este natural.

a) Arătați că $\displaystyle x*y=(x-101)(y-101)+101$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale care sunt egale cu simetricul lor în raport cu legea „$\displaystyle *$”.

c) Determinați numere întregi $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, cu $\displaystyle x<y$ și $\displaystyle 101$ este număr prim, obținem $\displaystyle x*y=202$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x,y)\cdot M(a,b)=M(xa+yb,xb+ya)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (x,y)$ de numere reale, știind că $\displaystyle \det(M(x,y))=4$ și suma elementelor matricei $\displaystyle M(x,y)\cdot M(x,y)$ este egală cu $\displaystyle 8$.

a) Arătați că $\displaystyle 0*1*(-1)=-1$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x*y = (x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle m$.

c) Pentru $\displaystyle m=-1$, determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 5^x * 5^{-x+1}=-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \sqrt{2} \circ 1 = \sqrt{2}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = 3(x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2}) + \sqrt{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle \sqrt{2} \circ \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}} \circ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \circ \dots \circ \frac{\sqrt{2020}}{\sqrt{2017}}$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \circ x = 8$.

c) Calculați partea întreagă a numărului $\displaystyle a=\left(1-\frac{1}{11}\right) \circ \left(1-\frac{2}{11}\right) \circ \left(1-\frac{3}{11}\right) \circ \dots \circ \left(1-\frac{10}{11}\right)$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = \frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-3$. Arătați că $\displaystyle f(x \circ y) = f(x) \cdot f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x_1 \circ x_2 \circ \dots \circ x_n = \frac{1}{3^{n-1}}(x_1+3)(x_2+3)\dots(x_n+3)-3$, pentru orice $\displaystyle n \in \mathbb{N}$, $\displaystyle n \ge 2$ și orice numere reale $\displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle \circ$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \circ x \circ x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = 4$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = 2A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ și numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(2) \cdot \dots \cdot A(n) = 2^x A(15)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2,3))=0$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a\in\mathbb{Q}$ și $\displaystyle b\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, atunci matricea $\displaystyle A(a,b)$ este inversabilă.

c) Determinați matricea $\displaystyle X\in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(-1,\sqrt{2})\cdot X=A(0,0)$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, astfel încât $\displaystyle a \ast a = a$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-1$. Demonstrați că $\displaystyle f(x \ast y) = f(x) \cdot f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(10)) = 10$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)-A(b) = (a-b)(A(1)-A(0))$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(2)) + \det(A(3)) + \dots + \det(A(n)) = 35$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b-6ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = A(n)$.