Arătați că $\displaystyle (2 - \frac{1}{3})^2 : \frac{17}{9} = 1$.

Prețul unui obiect este 120 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 5%.

6. Arătați că numărul $\displaystyle \frac{2}{3-\sqrt{5}} + \frac{2}{3+\sqrt{5}}$ este întreg.

Arătați că $\displaystyle \sqrt{16} + \sqrt{49} - \sqrt{121} = 0$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\displaystyle 5(x+2) \le 15$.

5. Demonstrați că $\displaystyle (x-y-50) \circ (x-y-50) = (x-y)(x-y+1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

6. Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere reale pozitive, știind că $\displaystyle A(\sqrt{a}) \cdot A(\sqrt{b}) = A(2) + \frac{1}{2} A(a)$.

Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x-1)(y-1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Demonstrați că $\displaystyle M(x) \cdot M(y) = xyI_2 + (x+y)A$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy - 4(x+y)+20$. \newline 2. Arătați că $\displaystyle x \ast y = (x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 4. Arătați că $\displaystyle M(x) \cdot M(y) = M(y) \cdot M(x)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că legea de compoziție $\displaystyle *,* : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle x*(y+z)=x*(y+z)-9$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 5^{x^2+5^x}=25^5$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \ 3 & 0 \\ \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 4 & 1 \\ \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

Demonstrați că $\displaystyle x*y = (x+3)(y+3) - 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle 20 * (x+z) = x+y+z-40$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

Fie $\displaystyle a, b$ numere reale. Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.