a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b) = A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(3) \cdot X = A(5)$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)\left(y - \frac{3}{2}\right) + \frac{3}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = 14$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \left(2^n * \frac{3}{2}\right) * \left(2^{n+1} * \frac{3}{2}\right) * \left(2^{n+2} * \frac{3}{2}\right) = 2^{20} + \frac{3}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle A(n)=A(1)A(2)A(3)...A(2020)$, atunci numărul natural $\displaystyle n$ este multiplu de 2021.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y=(x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ \sqrt{3}=\sqrt{3}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Calculați $\displaystyle \sqrt{5} \circ \sqrt{6} \circ \sqrt{7} \circ ... \circ \sqrt{100}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=8$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=2A(ab-a-b+2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care $\displaystyle A(p)A(q)=4I_3$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = \frac{3}{5}(x-\frac{5}{3})(y-\frac{5}{3}) + \frac{5}{3}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle \frac{5}{3} * \frac{5}{3} * \frac{5}{3} = \frac{5}{3}$.

c) Calculați $\displaystyle \frac{1}{3} * \frac{2}{3} * \frac{3}{3} * \dots * \frac{2020}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)A(y) - A(2xy))$ = 0, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1)A\left(\frac{1}{2}\right) + A(2)A\left(\frac{1}{4}\right) + \dots + A(10)A\left(\frac{1}{2020}\right) = nI_3$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -3$.

b) Pentru $\displaystyle a=-1$ și $\displaystyle b=2$, rezolvați sistemul de ecuații.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care sistemul de ecuații este compatibil nedeterminat.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ nu este inversabilă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care există $\displaystyle y_0$ și $\displaystyle z_0$, numere reale, astfel încât $\displaystyle (2,y_0,z_0)$ să fie soluție a sistemului de ecuații.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(m))=m-9$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care sistemul de ecuații admite soluții diferite de $\displaystyle (0,0,0)$.

c) Pentru $\displaystyle m=9$, se consideră $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ o soluție a sistemului de ecuații, cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ numere reale astfel încât $\displaystyle (x_0,y_0,z_0) \neq (0,0,0)$. Calculaţi $\displaystyle \frac{x_0^2+y_0^2-z_0^2}{x_0^2+y_0^2+z_0^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A) = 2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați rangul matricei $\displaystyle B = A(1) \cdot A(2) - A(3) - I_3$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \ast (-2) = 0$.

b) Verificați dacă $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle \text{'}\ast\text{'}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2e^x}$. Arătați că $\displaystyle f(x \ast y) = f(x)+f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.