Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy-x-y+2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = (x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \ast$” este asociativă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \ast x = x$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1+4a & -6a \ 2a & 1-3a \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(m)A(n)=A(2)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y=2xy-2x-2y+3$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y=2(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x \leq 9$.

c) Calculați $\displaystyle 1^\circ \circ 2^\circ \circ 3^\circ \circ \dots \circ 2019^\circ$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = \begin{pmatrix} 1+a & -a \\ a & 1-a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2.$

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a) \cdot M(b) = M(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b.$

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle M(1) \cdot X \cdot M(-1) = A.$

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a+1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(ab+a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, $\displaystyle a,b>0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>0$, știind că $\displaystyle A(a)A(a)A(a)=A(7)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1)) = -5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a)M(b) = M(a+b+4ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle M(a)M(a) = M(2)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = 5xy - 5x - 5y + 6$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = 5(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x \leq x$.

c) Calculați $\displaystyle 1*(-2)*3*(-4)*...*(-2018)*2019$.

Se consideră determinantul $\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix} a & 2 & b \\ a & 1 & a \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle D(0,1)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(a,1) \geq 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, dacă numerele $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt întregi impare, atunci $\displaystyle D(m,n) \neq 0$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 & -x \\ 1 & x & 1 \\ -x & 1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(-x)+A(x)=2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)A(y)-A(2xy))=0$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle A(1)A(\frac{1}{2})+A(2)A(\frac{1}{4})+...+A(2019)A(\frac{1}{4038})=mI_3$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1-x & 1-y \ x+y & 1+x+y \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle M(-1)+M(1)=2M(0)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x) cdot M(y)=M(x+y)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x\circ y = \sqrt{x^2+y^2+1}$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x\circ y = \sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (a,b)$ știind că $\displaystyle a\circ b = 1$.

c) Demonstrați că pentru orice număr natural $\displaystyle n\ge 2$, numărul $\displaystyle \underbrace{1\circ 1\circ \dots \circ 1}_{n \text{ ori}}$ nu este natural.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} x+1 & 0 & x+2 \\ 0 & x & 0 \\ 3-x & 0 & 4-x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(M(-1))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x) + M(y) = M(0) + M(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, ştiind că suma elementelor matricei $\displaystyle M(m) \cdot M(1)$ este egală cu suma elementelor matricei $\displaystyle M(1) \cdot M(n)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = 4xy - 4x - 4y + 5$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = 4(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle x * x * x = 4^2(x-1)^3+1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & x-1 \\ x-1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(2xy-x-y+1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(a) \cdot A\left(\frac{1}{2}\right) = A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(a)$.