Se consideră numărul complex $\displaystyle z=7-i$. Arătați că $\displaystyle |z-\bar{z}|=10$.

Aflați partea imaginară a numărului $\displaystyle z=\frac{1-2i}{1+3i}$.

1. Arătați că $\displaystyle 3i(4-i) + 4(1-3i) = 7$, unde $\displaystyle i^2 = -1$.

1. Determinați perechea $\displaystyle (a,b)$ de numere reale pentru care $\displaystyle \frac{3+i}{1-i} = a+bi$, unde $\displaystyle i^2 = -1$.

5p 1. Calculați modulul numărului complex $\displaystyle z = \frac{7-19i}{9+i}$.

Se dă numărul complex $\displaystyle z = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} + i \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$. Calculaţi modulul numărului $\displaystyle z^4$.

Calculați conjugatul numărului complex $\displaystyle z=(1+i)^8-i$.

1. Să se determine $\displaystyle z \in \mathbb{C}$ dacă $\displaystyle z - \bar{z} + |z| = 7$.

Să se determine numărul complex $\displaystyle z$, ştiind că $\displaystyle z+5\bar{z}=12+8i$.

5p 2. Fie numerele complexe $\displaystyle z_1 = a+i$ și $\displaystyle z_2 = 1+(a+1)i$, unde $\displaystyle a$ este număr real iar $\displaystyle i^2 = -1$. Să se demonstreze că numărul $\displaystyle z_1 \cdot z_2$ nu este real pentru nicio valoare a numărului real $\displaystyle a$.

Se consideră numărul complex $\displaystyle z = 4i - 2i + 2$, unde $\displaystyle i^2 = -1$. Determinați partea imaginară a numărului $\displaystyle z$.

1. Arătați că $\displaystyle (2 + i)^2 + (2 - i)^2 = 25$.

1.Calculaţi modulul numărului complex $\displaystyle z = \frac{6+8i}{3-4i}$.

2. Dacă $\displaystyle z \in \mathbb{C}$ și $\displaystyle iz + 3\bar{z} = 10 - 18i$, calculați $\displaystyle |z|$.

Determinați partea reală a numărului complex $\displaystyle z=\frac{-13+11i}{2+5i}$.

Se consideră numărul complex $\displaystyle z = 1 - i$. Calculați modulul numărului $\displaystyle w = |z| + \bar{z}$.