Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ a & i & a \\ -1 & a & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle i^2 = -1$ și $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = i$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Calculați $\displaystyle A(0) \cdot A(0) \cdot A(0) \cdot ... \cdot A(0)$, de 2022 ori.

Pe mulțimea numerelor complexe se consideră legea de compoziție asociativă $\displaystyle z_1 * z_2 = (z_1 - i)(z_2 - i) + i$.

a) Demonstrați că elementul neutru al legii de compoziție este $\displaystyle 2-i$.

b) Determinați simetricul elementului $\displaystyle z = 4+i$.

c) Demonstrați că mulțimea $\displaystyle H = \{z \in \mathbb{C} \mid \left| z-i \right| = 1\}$ este parte stabilă a mulțimii numerelor complexe în raport cu legea de compoziție dată.

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție $\displaystyle z_1 \ast z_2 = z_1 z_2 + z_1 + z_2$.

a) Arătați că $\displaystyle (2+i) \ast (2-i) = 9$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$, numărul $\displaystyle A = (-1+a i) \ast (-1-a i)$ este real strict mai mic decât 0.

c) Determinați numerele complexe $\displaystyle z$ pentru care $\displaystyle z \ast z = -5$.

Pe mulțimea numerelor complexe se consideră legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = x+y-ixy$.

a) Arătați că $\displaystyle i \circ (-i+(y+i)-i)$, pentru orice numere complexe $\displaystyle x, y$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați perechea de numere reale $\displaystyle (a,b)$, știind că $\displaystyle i^2 \circ i^2 \circ \dots \circ i^{2024} = a+bi$.

Pentru fiecare număr complex $\displaystyle z=a+b \cdot i$, unde $\displaystyle a,b \in \mathbb{R}$, $\displaystyle i^2 = -1$, se consideră matricea$\displaystyle A(z) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & i & 0 \\ 5 & 0 & -2 \end{pmatrix} + a \cdot I_3 + b \cdot B, \text{unde } B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

a) Arătați că $\displaystyle B^2+I_3 = O_3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(z_1) \cdot A(z_2) = A(z_1 \cdot z_2)$, oricare ar fi numerele complexe $\displaystyle z_1, z_2$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(\sqrt{5}-i) \cdot A(\sqrt{3}-i) \cdot A(\sqrt{5}+i) \cdot A(\sqrt{3}+i) = n \cdot I_3$.