1. Arătați că $\displaystyle \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)=2$.

Calculați numărul $\displaystyle z=(1-i\sqrt{2})(1+i\sqrt{2})$ este natural, unde $\displaystyle i^2=-1$.

1. Se consideră numărul complex $\displaystyle z = 2 + i$. Arătați că $\displaystyle z^2 - 4z + 5 = 0$.

Arătați că $\displaystyle \sqrt{5}(1+2\sqrt{5})-\sqrt{5}+2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}$.

Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (1+6i)^2 + (3-2i)^2$ este întreg negativ, unde $\displaystyle i^2 = -1$.

Se consideră numărul complex $\displaystyle z=1+i$. Arătați că $\displaystyle z^2-2z-i=1$.

1. Se consideră un număr complex $\displaystyle z$ care are proprietatea $\displaystyle z^2=i-1$. Arătați că $\displaystyle z^4+2i=0$.

Determinați numărul complex $\displaystyle z$, pentru care $\displaystyle 2z - \bar{z} = -2 + 6i$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{3x} - 2^{2x} + 2^x - 9 = 0$.

Calculați modulul numărului complex $\displaystyle z=(2+3i)(2-3i)-(9-3i)$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 8^{2x-1} = 32^x$.

Arătați că $\displaystyle \sqrt{2}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)+2\left(1-\sqrt{3}\right)=4$.

1. Arătați că, dacă $\displaystyle z_1=1-2i$ și $\displaystyle z_2=1+\frac{1}{2}i$, unde $\displaystyle i^2=-1$, atunci $\displaystyle z_1+z_2=2i_2$.

1. Arătați că $\displaystyle (1+\text{i})^2-2(1+\text{i})+2=0$, unde $\displaystyle \text{i}^2=-1$.

Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația $\displaystyle z^3 = -8i$.

Arătați că $\displaystyle B(1) - 2I - A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -2 & -7 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(1)$ este o matrice.

Arătați că $\displaystyle 3(4-i)+3(1+i)-9$, unde $\displaystyle i^2=-1$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_4(3x+4) = \log_4 16$.

1. Calculați modulul numărului complex $\displaystyle z=(2+3i)(2-3i)-(9-3i)$.