Se consideră numerele complexe $\displaystyle z_1 = 3-3i$ și $\displaystyle z_2 = 5-6i$. Arătați că $\displaystyle 2z_1 - z_2 = 1$.

Determinați partea reală a numărului complex $\displaystyle z=(1+i\sqrt{3})^2-(1-i\sqrt{3})^2$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x+2} + 3^{x+1} - 3^x = 13$.

Determinați partea reală a numărului complex $\displaystyle z=(3+2i)(3-2i)-(4-i)$.

Determinați numărul complex $\displaystyle z$, pentru care $\displaystyle z=3\overline{z}$.

1. Arătaţi că, dacă $\displaystyle z^2 + 2z + 2 = 0$, unde $\displaystyle z$ este număr complex, atunci $\displaystyle z^2 + \frac{4}{z^2} = -3$.

Arătați că, dacă $\displaystyle z = 3 + i$, unde $\displaystyle i^2 = -1$, atunci $\displaystyle z^2 - 6z + 10 = 0$.

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=\vec{a}\vec{i}-2\vec{j}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle |\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2$.

Arătați că numărul $\displaystyle A = z(2+3i) + \bar{z}(2-3i)$ este real, pentru orice număr complex $\displaystyle z$, unde $\displaystyle \bar{z}$ este conjugatul lui $\displaystyle z$.

Arătați că $\displaystyle \sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right) = 4$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2(10-2x) = 1$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{7x-12}=x$.

Arătați că $\displaystyle \sqrt[3]{63 - \sqrt{7}} - \sqrt[3]{7 - \sqrt{7}} + \sqrt{81} = 2$.

Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația $\displaystyle x^5 = -1024$.

5p 1. Arătați că modulul numărului complex $\displaystyle z=\frac{1+2i}{1-2i}$ este egal cu $\displaystyle 1$.

Arătați că $\displaystyle (2+3i)^2 = i(5i+12)$, unde $\displaystyle i^2 = -1$.

Se consideră un număr real $\displaystyle a$. Arătați că numărul $\displaystyle z = (a+2)^2 + (a-2i)^2$ este real, unde $\displaystyle i^2 = -1$.