1. Determinați numărul complex $\displaystyle z$, ştiind că $\displaystyle 2z - \bar{z} = 1 - 3i$, unde $\displaystyle \bar{z}$ este conjugatul lui $\displaystyle z$.

Arătați că $\displaystyle 1+i+(1-i)(1+i) - i(1-i)=0$, unde $\displaystyle i^2=-1$.

Arătați că $\displaystyle 2\left(\frac{1}{2}-\frac{i}{3}\right)\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{9}-\frac{16}{15}=\frac{1}{5}$.

Se consideră numărul complex $\displaystyle z=1-2i$. Arătați că $\displaystyle z^2-2z+5=0$.

Determinați mulțimea numerelor complexe $\displaystyle z \in \mathbb{C}$, $\displaystyle z \neq 2i$, astfel încât $\displaystyle \frac{2z+i}{z-2i}$ este un număr real.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x^2+1} = 3^{x+3}$.

5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $\displaystyle A=\left\{i^1, i^2, i^3, i^4\right\}$, unde $\displaystyle i^2=-1$, acesta să fie număr real.

1. Determinați conjugatul numărului complex $\displaystyle z=(1-i)(2+i)+5i$.

1. Arătaţi că numărul $\displaystyle a = \left( \frac{1}{1-i} - \frac{1}{1+i} \right)^2$ este întreg, unde $\displaystyle i^2=-1$.

1. Arătați că numărul $\displaystyle N = (4+3i)^2 + (3-4i)^2$ este natural, unde $\displaystyle i^2 = -1$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{2x-1} = x-1$.

Se consideră numerele complexe $\displaystyle z_1=3-i$ și $\displaystyle z_2=8-3i$. Arătați că $\displaystyle 3z_1-z_2=1$.

Calculați $\displaystyle (1+i)^2 - 2i^2 - 0$, unde $\displaystyle i^2 = -1$.

Arătați că $\displaystyle \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right):\left(\frac{1}{12}\right)=1$

1. Rezultatul calculului $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \sqrt{3}-2)$ este: A. $\displaystyle \sqrt{2}-1$ B. 1 C. $\displaystyle 1+\sqrt{3}$ D. 3

1. Calculați modulul numărului complex $\displaystyle z=(2-i)(3+2i)-4(1+i)$.

Determinați numărul complex $\displaystyle z$, ştiind că $\displaystyle 3z + 2\bar{z} = 5 + 2i$, unde $\displaystyle \bar{z}$ este conjugatul lui $\displaystyle z$.

1. Arătați că numărul $\displaystyle A = (4 + 3i)^2 + (3 - 4i)^2$ este natural, unde $\displaystyle i^2 = -1$.

1. Se consideră numărul complex $\displaystyle z=3-i$. Arătați că $\displaystyle z^2-6z+10=0$.

Se consideră numărul complex $\displaystyle z=1-i$. Arătați că $\displaystyle z^2-2z=0$.