Se consideră matricea $\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m-1 & -1 \\ 2 & m-2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(0))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(1+m)+A(1-m)=2A(1)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

Se consideră matricile $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle \det A$.

b) Arătați că $\displaystyle 9(A+B) - (A \cdot B + B \cdot A) = 45I_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle \det(A+xI_2)=0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & a \\ -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+2z=0 \\ x+2y+az=0 \\ -2x-y+3z=0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(9))=0$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) Demonstrați că, dacă sistemul are soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ numere reale nenule, atunci $\displaystyle x_0+y_0+z_0=1$, dacă și numai dacă $\displaystyle a=7$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 0 & x \\ x & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y) = xyI_2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(3^a)A(3^{a+1}) = A(27)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Se dă egalitatea $\displaystyle A \times B = A$.

a) Arătați că $\displaystyle A \times B = A$.

b) Determinați matricea $\displaystyle B$ pentru care $\displaystyle A \times B = A$.

c) Determinați matricea $\displaystyle B$ pentru care $\displaystyle B \times A = A$ . d) Determinați matricea $\displaystyle B$ pentru care $\displaystyle A \times B - B \times A = O_2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 2-x & 0 & x-1 \ 0 & 1 & 0 \ 2(1-x) & 0 & 2x-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)A(-x)) \leq 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că, dacă numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ verifică relația $\displaystyle A(m)A(n)=A(2)$, atunci $\displaystyle m+n=3$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -8$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A - 2A = 8I_2$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A \cdot B - B \cdot A) \ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x+1 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x)) = \det(A(x+1)) = 12$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(0)$.