Se consideră matricea $\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^n$, unde $\displaystyle n$ este număr natural.

a) Calculați $\displaystyle A(1)-A(0)$.

b) Determinați inversa matricei $\displaystyle A(1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle A(n) \cdot A(m)=A(n+m)$, atunci $\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix} 1 & 2n & n(n+1) \ 0 & 1 & 2n \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle n \in \mathbb{N}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2015 & 2016 & x \\ 2015^2 & 2016^2 & x^2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2016))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x))=(2015-x)(2016-x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))$ are valoarea minimă.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle X(a)=I_2+aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle A \cdot A$.

b) Demonstrați că $\displaystyle X(a) \cdot X(b) = X(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați inversa matricei $\displaystyle M=X(-3) \cdot X(-2) \cdot X(-1) \cdot X(0) \cdot X(1) \cdot X(2) \cdot X(3) \cdot X(4)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle A+I_2$.

b) Arătați că inversa matricei $\displaystyle M=A+I_2+A \cdot I_2$ este matricea $\displaystyle -A$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care avem $\displaystyle (A+I_2)(B+I_2)=2I_2$, unde $\displaystyle B=\begin{pmatrix} x & 0 \ x^2 & 0 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & m \\ m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$, pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle X \cdot A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ x & 2x-1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(M(0))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle 2M(x) - M(-x) = M(3x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle O(0,0)$, $\displaystyle A(n, 2n-1)$ și $\displaystyle B(n^2, 2n^2-1)$, unde $\displaystyle n$ este număr natural, $\displaystyle n \geq 2$. Demonstrați că aria triunghiului $\displaystyle OAB$ este număr natural.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle \det A$.

b) Arătați că $\displaystyle (A-I_3)(A-I_3)(A-I_3) = O_3$, unde $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle AX = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)+B(x)) = \det(B(x))$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ și $\displaystyle p$, știind că $\displaystyle A(n)B(p)=B(3)$.