Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -5$.

b) Arătați că $\displaystyle A\cdot B=B\cdot A$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle A\cdot A-3(A+B)=I_2$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay+z=1 \\ y-z=-1 \\ x+y-2z=0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -2$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a \ne -1$ și $\displaystyle a \ne 1$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$, pentru care sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, iar $\displaystyle x_0, y_0$ și $\displaystyle z_0$ sunt numere întregi.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 2-a & 1 \\ 1 & 2-a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) + A(-a) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle A(x) \cdot A(x) = 2A(1)$.

a) Arătați că $\displaystyle det A = 1$, unde $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$, pentru care $\displaystyle A^2 = \begin{pmatrix} a-2 & b \ c+1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A^2=I_2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1+x & -x \\ 2x & 1-2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați det($\displaystyle A(0)$).

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este egală cu inversa ei.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A - 2A = I_2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle A \cdot B = I_2$, unde $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -1 & x \\ x-1 & -1 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} m & 1 & -1 \\ 1 & -m & 1 \\ -1 & 1 & m \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} -mx + y + z = -1 \\ x - my + z = -1 \\ -x + y + mz = m \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 2$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle m$, $\displaystyle m \neq -1$ și $\displaystyle m \neq 2$.

c) Pentru $\displaystyle m=2$, determinați soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ a sistemului pentru care $\displaystyle x_0 + y_0 + z_0 = 9$.

Se consideră matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1+3x & 2x \ -6x & 1-4x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x+y)=A(x)A(y)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați matricea $\displaystyle A(2^x-1)$ pentru orice număr real $\displaystyle x$, ștind că $\displaystyle A(2^x)=A(1)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & y \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=4$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A-2B)=0$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, pentru care $\displaystyle A \cdot B = B \cdot A$.