Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\displaystyle \det(A - 2I_2) = 1$.

2. Determinați numărul întreg $\displaystyle k$ pentru care $\displaystyle 2A + kI_2 = B$.

Se definește matricea $\displaystyle M(p,q) = p \cdot A + q \cdot B$, unde $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ sunt numere reale. 3. Arătați că $\displaystyle B \cdot A = B \cdot A$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care $\displaystyle M(p,q) = A^t$, $\displaystyle A^t = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.

5. Arătați că, oricare ar fi $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ numere reale, $\displaystyle \det(M(p,q)) = \det(M(q,p))$.

6. Determinați perechile $\displaystyle (p,q)$ de numere reale pentru care $\displaystyle M(p,q) \cdot M(q,p) = 6I_2$.