Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + a \cdot A$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle M(1) + M(-1) = 2I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + a \cdot A$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul întreg $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A \cdot A = n \cdot A$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + a \cdot A$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle M(a) \cdot A = A \cdot M(a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + a \cdot A$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X \cdot M(0) \cdot (A - I_2) = 4A$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + a \cdot A$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle M(-5) + M(-4) + M(-3) + \dots + M(3) + M(4) + M(5) = n \cdot I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + a \cdot A$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (a,b)$, cu $\displaystyle a < b$ pentru care $\displaystyle M(a) \cdot M(b) = M(3)$.

1. Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ astfel încât $\displaystyle X(a)=A^2$. Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -2 \ 6 & -4 \end{pmatrix}$, $\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix} 1+2a & -a \ 3a & -2a \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

2. Să se arate că $\displaystyle B^2=B$ unde $\displaystyle B=I_2+A$.

3. Să se arate că mulțimea $\displaystyle M=\{A^n | n \in \mathbb{N}^*\}$ este finită.

4. Să se calculeze $\displaystyle \det(2026 \cdot I_2+A+A^2+...+A^{2026})$.

5. Să se calculeze inversa matricei $\displaystyle D=A-A^t$, unde $\displaystyle A^t$ este transpusa matricei $\displaystyle A$.

6. Să se determine $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ astfel încât matricea $\displaystyle C=x \cdot I_2+A$ să fie inversabilă.

1. Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1-x & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.