Fie $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1+5a & 10a \\ -2a & 1-4a \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$

a) Să se calculeze $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Să se demonstreze că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b+ab)$, oricare ar fi $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$.

c) Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ știind că $\displaystyle A^2(a) = A^T(1)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} m+1 & -2 & 1 \\ 1 & m+1 & -2 \\ -2 & 1 & m+1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} (m+1)x - 2y + z = m \\ x + (m+1)y - 2z = 3 \\ -2x + y + (m+1)z = 3 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(m)$ este inversabilă dacă și numai dacă $\displaystyle m \ne 0$.

c) Pentru $\displaystyle m \ne 0$, demonstrați că singura soluție a sistemului de ecuații este $\displaystyle x=1, y=2$ și $\displaystyle z=3$.

Se consideră matricele $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1-x & 2x \\ 2x & -4x+1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$, $\displaystyle X = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y-5xy)$, $\displaystyle \forall x, y \in \mathbb{R}$.

c) Determinați perechea de numere naturale nenule $\displaystyle (m,n)$ pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = A(m-3n)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 3 & 9 & 6 \\ 2 & 6 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle X = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle Y = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = I_3 + A$.

a) Să se calculeze $\displaystyle S = A - X \cdot Y$.

b) Să se determine $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ astfel încât $\displaystyle B \cdot C = I_3$, unde $\displaystyle C = I_3 + aA$.

c) Să se arate că $\displaystyle A^{n+1} = 14^n \cdot A$, $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*$.

Se consideră matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & m \\ 4 & 1 & -1 \\ 1 & -m & -1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2x+y+mz=4 \\ 4x+y-z=6, m \in \mathbb{R}. \\ x-my-z=1 \end{cases}$

a) Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ astfel încât sistemul să admită soluția $\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det A \ge 0$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$, pentru care sistemul admite o soluție unică cu componentele numere naturale.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 1-a \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(-2))$.

b) Determinați valoarea parametrului real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)) = 3$.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle A(1) \cdot X = A(4)$, $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații liniare $\displaystyle \begin{cases} x+ay=1 \\ x-y=a \\ x+y-z=a \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A$ este inversabilă.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle AX = \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix}$ nu are soluții reale, unde $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in M_{2,1}(\mathbb{R})$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, fie $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ o soluție reală a sistemului. Să se determine valoarea maximă a expresiei $\displaystyle x_0 \cdot y_0$.

Fie matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1+4x & 6x \\ -2x & 1-3x \end{pmatrix}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y+xy)$, $\displaystyle \forall x, y \in \mathbb{R}$.

c) Determinați $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ astfel încât $\displaystyle A(2^x) \cdot A(-2^{-x}) = A(3)$.