4. Să se arate că pentru toate elementele matricei $\displaystyle (A \cdot B)^2 - (B \cdot A)^2$ sunt egale.

5. Determinaţi $\displaystyle P \in \mathbb{R}[X]$ astfel încât $\displaystyle (A+B)^2 = P(A+B)$.

6. Calculaţi $\displaystyle (A \cdot B)^{2026} + (B \cdot A)^{2026}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle M(x, y) = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale. 1. Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ astfel încât $\displaystyle M(x, y) = A + 2I_2$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det (M(x, 1)) = 7$.

Arătați că $\displaystyle A \cdot A - A = -2A$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle A \cdot M(x, y) = M(x, y) \cdot A$.

Demonstrați că, dacă $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere întregi pentru care $\displaystyle M(a, b) \cdot M(-a, b) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, atunci numărul $\displaystyle a \cdot b$ este divizibil cu $\displaystyle 5$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle X(a) = I_2 + aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

1. Arătați că $\displaystyle \det (X(0)) = 1$.

2. Calculați $\displaystyle A^2 - 5A$.

3. Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{Z}$ astfel încât $\displaystyle X(-1) \cdot X(2) = X(m)$.

4. Arătați că pentru orice număr întreg $\displaystyle a$ este verificată inegalitatea $\displaystyle \det(X(a)) \neq 0$.

5. Rezolvați ecuația matricială $\displaystyle (I_2 + A) \cdot X = \begin{pmatrix} -2 & 11 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$.

6. Demonstrați că $\displaystyle X(a) \cdot X(b) = X(a+b+5ab)$ pentru orice $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ numere reale.