Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a+1 \\ 0 & 1 & a+2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, ştiind că $\displaystyle A^2(a)-2A(a)+I_3=O_3$, unde $\displaystyle A^2(a)=A(a)A(a)$.

c) Arătați că $\displaystyle A(2)+A(4)+A(6)+...+A(100)=50A(51)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 2 & x \\ x & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(1)+A(3)=aA(2)$.

c) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)=2A(x+y)+xyI_2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -5$.

b) Arătați că $\displaystyle \det (A+C(-1)) = \det B$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle C(x) \cdot A - A \cdot C(x) = B$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & 0 & x \\ 0 & x & 0 \\ x & 0 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x) \cdot B(x) - B(x) = B(x^2 + x - 2)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix} x & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \det(B(x)+I_2)=8$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x)=B(x) \cdot A$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -2 \ 5 & -3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A\cdot A+I_2=O_2$, unde $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A-aI_2)\geq 1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 2 & 1 \\ a & 2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle 2A(1)-A(-1)=A(3)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A(a) + bI_3 = 2(A(1)-I_3)(A(1)-I_3)$.

c) Arătați că matricea $\displaystyle A(n)$ este inversabilă pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

Se consideră determinantul $\displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & 4 \\ 2 & x-1 & 7-x \\ 1 & -2 & x^2 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle D(1)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(x) = -(x-1)(x+1)(x+2)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle D(2^x - 3) = 0$.

Se consideră matricea $\displaystyle X(a) = \begin{pmatrix} 1+3a & -6a \\ a & 1-2a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle X(a) + X(-a) = 2X(0)$.

b) Arătați că $\displaystyle X(a) \cdot X(b) = X(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle X(a)$ este inversabilă.

Se consideră determinantul $\displaystyle D(m)=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ m & 1 & -1 \\ 2 & 3 & m \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle D(0)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(m)=(m+2)(m+3)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle D(n^2-3n)=0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ a & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(-1)+A(1)=2A(0)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle A(1) \cdot X=4A(2)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 0 & x & -1 \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(1)+A(-1)=2A(0)$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \det(A(x)+I_3)=0$.

c) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)-A(-a)+I_3-A(-1))=0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle a$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2,0))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x,a) + A(x,-a) = 2x A(1,0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle a$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \det(A(x,-3)) = 0$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle \det A$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle A \cdot A = xA$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A + aI_2) = 0$.