2. Determinați $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))=0$.

3. Pentru $\displaystyle x=-1$ calculați $\displaystyle \det(A(x)-I_2)$.

4. Pentru $\displaystyle x=1$, calculați $\displaystyle \det(3A^2(x))$.

5. Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația $\displaystyle A^2(x) - A(x) = 2I_2$.

6. Determinați $\displaystyle x,y \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle A(-1) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2025 \\ 2025 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & -3 \\ -5 & 6 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

1. Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -9$.

2. Arătați că $\displaystyle A(1) \cdot A(1) = 8A(1)$.

3. Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle \det(A(a) + B) = 19$.

4. Verificați dacă $\displaystyle B \cdot B = 2B + 3I_2$.

5. Determinați numărul natural $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(n) + B = \begin{pmatrix} -17 & -19 \\ 16 & 52 \end{pmatrix}$.

6. Arătați că $\displaystyle n \cdot \det(A(n))$ este număr natural divizibil cu $\displaystyle 18$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$ nenul.

1. Fie matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -2 \end{pmatrix}$. Să se calculeze $\displaystyle B^2 - 3B$.

2. Să se verifice egalitatea $\displaystyle B \cdot A = 3B$.

3. Arătaţi că $\displaystyle A \cdot B \ne B \cdot A$.