a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) + A(-a) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle A(x)A(x) = 2A(1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A)=1$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A-A \cdot A=I_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x,y$ și $\displaystyle z$, pentru care $\displaystyle A \begin{pmatrix} x-2 \\ x+1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix} = O_2$.

a) Arătați că $\displaystyle B^2+I_3 = O_3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(z_1) \cdot A(z_2) = A(z_1 \cdot z_2)$, oricare ar fi numerele complexe $\displaystyle z_1, z_2$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(\sqrt{5}-i) \cdot A(\sqrt{3}-i) \cdot A(\sqrt{5}+i) \cdot A(\sqrt{3}+i) = n \cdot I_3$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4)-I_2)=-8$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că are loc egalitatea $\displaystyle A(x) \cdot A(2)-(x+2)A(x)=I_2$.

c) Calculați $\displaystyle A(1)+A(2)+A(3)+\dots+A(9)$.

a) Demonstrați că dacă $\displaystyle A,B\in G$, atunci $\displaystyle A\cdot B\in G$.

b) Aflați două matrice $\displaystyle C,D\in G$ cu proprietatea $\displaystyle C\cdot D\neq D\cdot C$.

c) Arătați că orice matrice din $\displaystyle G$ este simetrizabilă în raport cu înmulțirea matricelor.

a) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, oricare ar fi $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că dacă $\displaystyle B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ și $\displaystyle B \cdot A(6) = A(6) \cdot B$, atunci există $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$ astfel încât $\displaystyle B = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & a \end{pmatrix}$.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle X^2 = A(6)$, $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(5))=5$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)+A(-x)=2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))=5$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-1)) = \frac{1}{e}$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle Y\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle A(1)\cdot Y=B$.