Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 3 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(A(3)) = -6$.

Demonstrați că $\displaystyle A(-a) + A(a) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Arătați că inversă matricei $\displaystyle A(4)$ este matricea $\displaystyle \begin{pmatrix} -2 & \frac{3}{2} \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a^2) - 5A(a) + 4A(1) = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a) + A(3)) = a^2-32$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ și mulțimea $\displaystyle G = \{ X(a) \in M_2(\mathbb{R}) | X(a) = I_2 + aA, a \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{3}\} \}$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Arătați că $\displaystyle \det(X(2)) = 7$.

Arătați că $\displaystyle X(1)+X(4) = I_2+4A$.

Să se arate că $\displaystyle X(a) \cdot X(b) = X(a+b+3ab)$, oricare ar fi $\displaystyle X(a), X(b) \in G$.

Demonstrați că $\displaystyle X(a)$ nu este $\displaystyle O_2$, oricare ar fi $\displaystyle X(a) \in G$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(X(a)) \cdot X(a) = O_2$, unde $\displaystyle X(a) \in G$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(X(a)) + al_2 \le 0$, unde $\displaystyle X(a) \in G$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ -4 & -8 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 3 & x+3 \\ x-3 & -3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.