a) Arătați că $\displaystyle \det A = 5$;

b) Să se demonstreze că matricea $\displaystyle A$ verifică relația: $\displaystyle A^2 - 2A + I_2 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$;

c) Să se afle matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ știind că $\displaystyle A \cdot X = B$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A)=5a+4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a,b$ pentru care tripletul $\displaystyle (1,0,-1)$ este soluție a sistemului;

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a,b$ astfel încât sistemul să fie compatibil nedeterminat.

a) Determinați cel mai mic număr întreg $\displaystyle m$ pentru care suma elementelor matricei $\displaystyle A(m)$ este un număr natural nenul.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)-A(2)) = 0$.

c) Pentru $\displaystyle m=2$, determinați soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ a sistemului de ecuații, știind că $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ formează o progresie geometrică.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(0))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)-2A(x)-2A(y)=A(2024)$, pentru orice $\displaystyle x, y$ numere reale.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ știind că $\displaystyle A(m)A(n)=A(-2022)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Pentru $\displaystyle m=2$, rezolvați sistemul de ecuații.

c) Pentru $\displaystyle m=3$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului de ecuații, astfel încât $\displaystyle x_0+y_0z_0=4$ și $\displaystyle x_0,y_0,z_0$ sunt numere întregi.

a) Rezolvați ecuația $\displaystyle \det(A(m))=0$, $\displaystyle m\in\mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle A^{-1}(-1)=\frac{1}{2}A(0)$.

c) Determinați $\displaystyle X\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle A(-1)\cdot X=B$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \text{rang } A(x) = 3$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (x,a)$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(a) = A(a) \cdot A(x) = A(-4)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A \cdot A - 4A = 5I_2$.

c) Determinați valorile naturale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A \cdot B(x)) < 10$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = A(m+n+mn)$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle m, n, p$ sunt numere reale pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) \cdot A(p) = A(0)$, atunci $\displaystyle (1+m)(1+n)(1+p)=1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = a(3-a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=0$ demonstrați că sistemul de ecuații este incompatibil.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, și $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=-5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A\cdot A-2A-5I_2=O_2$, unde $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A-xI_2)=10$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(-1) \cdot B(-1)+3A=4B(a)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle X \cdot (A-2I_2)=B(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det B(1) = 3$.

b) Arătați că nu există $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ astfel încât $\displaystyle B(a) \cdot B(a) = 8I_2 - A$.

c) Arătați că $\displaystyle \det(A \cdot B(a) - B(a) \cdot A) \le 0$, oricare ar fi $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că rang $\displaystyle (A^2-A) = 0$.

b) Rezolvați în $\displaystyle M_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle X \cdot A = A \cdot X$.

c) Arătați că dacă $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle X^{2024} = A$, atunci $\displaystyle X=A$ sau $\displaystyle X=-A$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle A - 3C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle 5X - B = 3C$.

a) Să se verifice dacă $\displaystyle \det(A(2)) = 3$.

b) Să se determine $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ care verifică relația $\displaystyle 2X + A(2) = 2A(1)$.

c) Să se determine $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\displaystyle A^2(x)$ are toate elementele egale între ele.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(0))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)=A(-x-y+2xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x,y$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care inversa matricei $\displaystyle A(m)$ are elementele numere întregi.

a) Să se calculeze $\displaystyle \det A$.

b) Să se demonstreze că $\displaystyle A^2 = 2I_2 - A$, unde $\displaystyle A^2 = A \cdot A$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Să se determine matricele $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, $\displaystyle X \ne O_2 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, astfel încât $\displaystyle \det(X+A)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A)=-3$.

b) Verificați dacă $\displaystyle A \cdot A - 2A = 3I_2$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$, astfel încât $\displaystyle A \cdot X = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}$.