Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 5-x & 0 & 2x-8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4-x & 0 & 2x-7 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A((x-3)(y-3)+3)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle abc$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(b) \cdot A(c) = A(8)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = 9$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Arătați că $\displaystyle A(-a) \cdot A(a) = 9I_2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați perechile de numere naturale nenule $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = 3A(3)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 4-x & 1 & 4 \\ 1 & 2-x & 2 \\ 2 & 4 & 1-x \end{pmatrix}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -21$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \text{rang}(A(x)) = 3$.

c) Rezolvați ecuația $\displaystyle \det(A(\lg x)) = 0$, $\displaystyle x > 0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, oricare ar fi $\displaystyle x,y \in \mathbb{R}$.

b) Arătaţi că $\displaystyle (A(x)-A(y))^{2023} = O_3$, pentru orice $\displaystyle x,y \in \mathbb{R}$.

c) Determinaţi inversa matricei $\displaystyle A(x)$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(-x) = I_2$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)+A(2)+...+A(n)) = \frac{n^2(n-1)(n+3)}{4}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A + I_2 = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A - aI_2) \ge 1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este un număr real.

a) Determinați $\displaystyle \det(A(10))$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$, ştiind că $\displaystyle A(x) \cdot A(2x) = A(x^2 + 2)$.

c) Știind că $\displaystyle A(n) = A(1) \cdot A(2) \cdot \ldots \cdot A(2022)$, demonstrați că $\displaystyle n$ este număr natural divizibil cu $\displaystyle 2023$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & m^2 \\ 1 & m+1 & (m+1)^2 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle m$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele necoliniare $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(m, m^2)$ și $\displaystyle C(m+1, (m+1)^2)$, unde $\displaystyle m$ este un număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle m$, știind că triunghiul $\displaystyle ABC$ are aria egală cu 1.

Fie matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$.

a) Să se calculeze rang $\displaystyle A$.

b) Să se arate că $\displaystyle A^n=14^{n-1}A$, $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*$.

c) Să se arate că inversa matricei $\displaystyle I_3-A$ este $\displaystyle I_3 - \frac{1}{13}A$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & m & 1 \\ 0 & m+1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(A(m)) \neq 0$.

c) În reperul cartezian $\displaystyle (xOy)$ considerăm punctele necoliniare $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(m,m^2)$, $\displaystyle C(m+1, (m+1)^2)$, unde $\displaystyle m \in \mathbb{R}$. Determinați valorile lui $\displaystyle m$, știind că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 1$.