a) Arătați că $\displaystyle \det(A(6)) = 10$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(3) \cdot A(3) = aI_2$.

c) Demonstrați că numărul $\displaystyle N = \det(A(m) \cdot A(2) - A(m-1))$ este natural, pentru orice număr întreg $\displaystyle m$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(0))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle M(3)+2M(0)=3M(1)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle M(a)\cdot M(0)=M(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle \text{det}(A(1)) = 2$.

b) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, cu $\displaystyle z_0=nx_0$, unde $\displaystyle n$ este număr natural.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2.$

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot (6I_2 - A(-2))=xI_2.$

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot X = A(1)-I_2.$

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4))=5$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A(1)+A(4)=3A(2)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(-x)\cdot A(x)=A(y)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(a)=(2a-1)A(a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle B(n)=A(n)+nI_3$, unde $\displaystyle n$ este număr natural. Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n) \cdot B(n)=2n^2 A(n)$.