Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 2x & 3x & -3 \\ -x & -2x & 1 \\ 0 & 0 & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(0)) = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle M(x) \cdot M(y) - xyI_3 = (x+y+1)M(0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(1) \cdot M(-1) - M(2) \cdot M\left(-\frac{1}{2}\right) = 2M(0)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2+x & x \\ -x & 2-x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 2 & x \\ -1 & 2x \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ este număr real.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y-z = 1 \\ 3x+y-2z = 1 \\ x-3y+z = -3 \end{cases}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ este număr real.

Se consideră matricea $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 3a \\ 2a & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -2 \ 1 & 1 & -a \ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+z=3 \ x+y-z=5 \ x-y-z=1 \end{cases}$ este număr real.