Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x \ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(2)+A(6)=2A(4)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x)\cdot A(x)=A(x)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2-3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2+3x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=8$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = 2A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (A(x)+A(3x)) \cdot A(2x)=4A(x^2)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle B = \frac{1}{2}(I_2-A)$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(-I_2) \cdot X = 2A$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 3A-5I_2 = xB$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(B-A)+xI_2) \le 2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay-2z=4 \\ y+z=1 \\ 2x+4y+z=4 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 3$.

b) Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ a sistemului de ecuații verifică inegalitatea $\displaystyle y_0 z_0 \ge 1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(2x) = A(3)$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n) \cdot A(n+1) = A(42)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1-x & 3x \\ -x & 1+4x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=3$.

b) Arătați că $\displaystyle xA(y)-yA(x)=(x-y)I_2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(1) = xA(x)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A\left(x\right) = \begin{pmatrix} 2 & x \\ -x & -2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det\left(A\left(5\right)\right) = 21$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A\left(-1\right) + A\left(5\right) = 3A\left(1\right)$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det\left(A\left(x\right) - A\left(-x\right)\right) - x^2 \ge 0$.