a) Arătați că $\displaystyle \det A=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B(x)-xA)=x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x)+B(x+2)=2A \cdot A$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A(3)+A(5)=2A(4)$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(n)+I_2)\geq 0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))= -1$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)\cdot A(-x)-I_3) \le 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle B \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$, $\displaystyle B= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X\cdot (A(0))^{-1} = B\cdot A(0)$, unde $\displaystyle (A(0))^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle A(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(2)\cdot A(0)+A(5)=mI_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det((A(x)-A(0))\cdot A(1-x))=3$.

a) Arătați că $\displaystyle \text{det}(A(2))=4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(3)+2A(1)=3A(2)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(x^2)=I_2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A - B(x) \cdot A = xI_3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Pentru fiecare număr real $\displaystyle x$ se consideră matricea $\displaystyle C(x)$ astfel încât $\displaystyle A \cdot C(x) = B(x)$. Arătați că $\displaystyle C(x) - C(-x) = y \cdot A$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(2) \cdot A = xM(1)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (M(a)-2I_2) \cdot M(a) = (a+2)I_2$.