Se consideră matricea $\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & x \ 0 & 1 & 0 \ 3x & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(0))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle B(x)+B(y)=2B\left(\frac{x+y}{2}\right)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x^2+1)B(x^2+1)=B(x^2+1)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ -a & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Arătați că $\displaystyle A(a)A(b) = A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A$.

b) Calculați produsul de matrice $\displaystyle A B$.

c) Calculați produsul de matrice $\displaystyle B A$ și verificați dacă $\displaystyle A B = B A$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(1)+A(0)=2A(0)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Rezolvați în mulțimea $\displaystyle M_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle A(2) \cdot X = A(0)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3.$

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot A=xA.$

c) Arătați că $\displaystyle \det(A+I_2)+\det(A-I_2)=2$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1-x & 0 & 2x \ 0 & 1 & 0 \ -x & 0 & 1+2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y+xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle A(x)A(x)=A(7)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 3 \\ a-1 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(2014) + A(2016) = 2A(2015)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)) = 0$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \det(A(2) + xA(3)) = 0$.

Se consideră matricele $\displaystyle M = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det M = 4$.

b) Arătați că $\displaystyle M \cdot M + 3M + 4I_2 = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ astfel încât $\displaystyle M \cdot M \cdot M = aM + bI_2$.