Se consideră matricea $\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ x & -1 & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(x) = A(0)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle (A(1))^{-1}=aA(1)+bI_3$, unde $\displaystyle (A(1))^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle A(1)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+2 & -2 \ 2 & x-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=8$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(0)=A(x)$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale distincte astfel încât $\displaystyle \det(A(x))=\det(A(y))$, atunci $\displaystyle x+y=1$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & -1 & a \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) - A(a) - A(b) + I_3$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot X \cdot A(0) = I_3$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & -2x \\ x & -e^x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(6))=12$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(4) \cdot A(4)=a A(4)$.

c) Determinaţi perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule, cu $\displaystyle m<n$, pentru care $\displaystyle \det(A(m)+A(n))=0$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=2$.

b) Arătați că $\displaystyle B+3I_{2}=2A$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A\cdot(x A+B)=2I_{2}$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x+2 & x \\ 0 & 2x & x+2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1))=7$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x) \cdot M(2) = M(x-1)$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(M(n)) \le \det(M(2n))$.