a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(0)(A(a) - A(0)) = aI_2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a^2) - A(a)) \ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle 2B - A = 3C$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2 (\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle 2X \cdot A = B + 2C$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(-x) = (x+y-2)A(0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(-1) \cdot A(3) = A(x) \cdot A(y)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(2))=4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(0)B(1)=aA$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x)=A \cdot (B(0)-3I_2)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle 3A(2) + A(6) = 4A(3)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(x) = 2A(x)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle B(8) - 3B(2) = 2A$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

a) Arătați că $\displaystyle \operatorname{det}(A(2))=5$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) - I_2 = a(A(1)-I_2)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(2m) = A(1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=9$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a)+A(-a)=2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a) \cdot A(-1)-aI_2)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere întregi și $\displaystyle x_0 > y_0 > z_0$.