Calculați $\displaystyle A \cdot A$.

Calculați $\displaystyle X(1) = I_2 - A$, deci $\displaystyle X(-1) + X(-1) + A = 2I_2$.

Demonstrați că $\displaystyle X(A) - X(-1) = A^2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle X(a)$ nu este inversabilă.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle det(X(a^2)) \le 10$.

Se consideră matricele $\displaystyle A(x,y) = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

Arătați că $\displaystyle A(2n, 2n+1) = 2n-1$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

Arătați că $\displaystyle A(2x,0) + A(0,2x)) = 2A(x,x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, astfel încât $\displaystyle A(x,y) \cdot B = B \cdot A(x,y)$, unde $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$.

Determinați numărul real strict pozitiv $\displaystyle x$, știind că suma elementelor matricei $\displaystyle A(\log_3 x, 1)$ este egală cu 5.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle A(x,y) - A(x,y) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\displaystyle \det(A)=-7$.

2. Arătați că $\displaystyle \det(A+xI_2) \geq -7$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

3. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A \cdot A = aI_2$.