Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x^2 A - x A^2 = 3 I_2$, unde $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2$ este matricea unitate de ordinul 2.

Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle B(x) \cdot B(x+1) = 16x - 15$, unde $\displaystyle B(x) = x - \frac{1}{2}$ și $\displaystyle x$ este număr real.

Determinați determinantul matricei $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -7 \end{pmatrix}$.

Arătați că $\displaystyle B(1) - 2I - A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -2 & -7 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(1)$ este o matrice.

Calculați $\displaystyle B(1) - 3I_2$, unde $\displaystyle B(1) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$.

Calculați $\displaystyle B(x) \cdot B(x) = x^2 I_2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & 2 \\ -x^2 & -2x \end{pmatrix}$.

Determinați $\displaystyle \det(\hat{B}(X))$ pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle \hat{B}(X) = -x^2 I_2$ și $\displaystyle X$ este matrice.

Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle B(3) \cdot B(4) = 4^2 I_2$ și $\displaystyle B(n) = n^2 I_2$, unde $\displaystyle n$ este număr natural.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(A) = A^2 - 4A + 4I_2$.

5p Arătați că $\displaystyle A^2 - 4A + 4I_2 = O$, unde $\displaystyle O$ este matricea nulă.

5p Arătați că $\displaystyle A^2 - 2A + 4I_2 = O$, unde $\displaystyle O$ este matricea nulă.

5p Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A^{-1} = m A$.

5p Fie $\displaystyle x, y, z$ numere reale astfel încât $\displaystyle x+y+z=1$. Arătați că $\displaystyle A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+3y \\ -x+y \end{pmatrix}$. Arătați că $\displaystyle A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+3y \\ -x+y \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y+3z \\ -y+z \end{pmatrix}$.

5p Demonstrați că, pentru orice matrice nenulă $\displaystyle n$, matricea $\displaystyle B(6n)$ are toate elementele numere naturale.