a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-3$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Arătați că sistemul de ecuații nu admite nicio soluție $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ astfel încât $\displaystyle x_0 = \frac{z_0}{2} = \frac{2}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-1)) = -3$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații admite soluție unică.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle a$, știind că există numerele reale $\displaystyle y_0$ și $\displaystyle z_0$ astfel încât $\displaystyle (1, y_0, z_0)$ este soluție a sistemului de ecuații.

a) Arătați că $\displaystyle \operatorname{det}(A(0))=-2$.

b) Arătați că matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ sunt numere întregi și $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle A(a) \cdot X=A(b)$, atunci elementele matricei $\displaystyle X$ sunt numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y+xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (m,n)$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversa matricei $\displaystyle A(n)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x))=6^{2x}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot B = B \cdot A(x)$.

c) Demonstrați că orice matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle X \cdot X = A(1)$ are toate elementele numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(1,2)) = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A \cdot B(a,b)) = 0$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(a,b) = B(a,b) \cdot A$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(\sqrt{2})) = -1$.

b) Arătaţi că matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$.

c) Determinaţi numărul întreg $\displaystyle k$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(1) - A(1) = k \cdot A(1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A \cdot A = I_2$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle AX-I_2 = 2021A$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(4)=B\cdot B+2C$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(n)+B)=4$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x)=B(x) \cdot A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det (aA+B(a))=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det B = -4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A \cdot A - B \cdot B = a(A+B)$.

c) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle x$, matricea $\displaystyle C(x)=xA+2B$ este inversabilă.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(1) = 3(A(x)-I_2)$.

c) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)-A(x^2)) \ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(A-2I_2) = (A-4I_2) \cdot 6I_2$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A \cdot X = 3A + 4X$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4))=-7$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(1)+A(1)+2A(x))=11$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(x) - A(1) = 3A(y)$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det A=0$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B(x)) + \det(B(7)-A) = 0$.

c) Determinaţi matricea $\displaystyle C \in M_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle xA-A \cdot B(x) = 14C$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=-5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(1) \cdot B(-1) + 3A = 4B(A)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle X(A-2I_2) = B(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B \cdot B = A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B + (\det B)A) = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 9$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot B(-1) - B(-1) = 2B(0)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(1)+B(2)+B(3)+...+B(9)=9B(x)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A = 5A$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A+xI_2)=0$.