2. Arătați că $\displaystyle 2A(1,1)-A(2,2)=A(0,0)$.

3. Arătați că $\displaystyle A(0,0) \cdot A(1,0)=A(-1,0)$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x,1)-xA(1,1))=9$.

5. Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x,y))+\det(A(y,x))\ge 2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

6. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(x,y)\cdot A(-y,-x)=A(0,-1)$.

5p 1. Arătaţi că $\displaystyle \det A=4$.

5p 2. Arătaţi că $\displaystyle (A+B):(-4)=24I_2$.

5p 3. Determinaţi matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle 2(X-A)=3(X-B)$.

5p 4. Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A+xI_2)=2$.

5p 5. Arătaţi că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, numărul $\displaystyle N=\det((1+n)A+(1-n)B)$ este natural, multiplu de 8.

5p 6. Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot (A-xI_2) = B \cdot (B+xI_2)$.

1. Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 2a \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(M(1))=1$.

2. Arătați că $\displaystyle 4M(2)-M(-1)=3M(3)$.

3. Arătați că $\displaystyle A \cdot A+7M(1)=24I_2$.

4. Arătați că $\displaystyle A-2I_2$ este inversa matricei $\displaystyle M(1)$.

5. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle M(1)+M(2)+M(3)+...+M(9)=aM(b)$.

6. Arătați că $\displaystyle \det(M(a) \cdot M(b) - M(b) \cdot M(a)) \le 0$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

Arătați că $\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 & 2 \\ 15 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}$. Determinați $\displaystyle det(A)$.

Determinați $\displaystyle 2A - B$.